Capítulo 7: Homo ad quadratum y Homo ad circulum: la tradición de la geometría de regla y compás

Y tal y como Dios midió el gran instrumento del cielo con la misma medida, también midió con las mismas al hombre, en su pobre y pequeña estatura ..., y lo creó de tal manera, que miembro unido a miembro, no sobrepasara su medida justa, su peso justo.

Hildegarda de Bingen, Liber Divinorum Operum simplicis hominus, Columna 876 D, XCVII.

 

Los problemas derivados de la práctica de los oficios constituyeron hace miles de años el punto de partida de las técnicas basadas en el rigor de los trazados geométricos. Los agrimensores del antiguo Egipto descubrieron que para obtener un ángulo recto puede hacerse con los valores 3, 4 y 5 como lados de un triángulo rectángulo, una fórmula que Pitágoras convirtió en el teorema por excelencia de la geometría, convirtiendo la observación empírica en reflexión científica [1]. Aproximadamente sobre el año 320 a.C., este corpus de conocimientos fue sistematizado por Euclides, momento en que se establecieron las bases de la geometría básica del plano, también conocida como de regla y compás, ya que solo son necesarios estos instrumentos para su desarrollo [2]. Se trata de una geometría compuesta por rectas, curvas, ángulos, polígonos y círculos; y vertebrada por criterios de semejanza y axiomas que sirven para resolver problemas relacionados con la medición de las extensiones y de las superficies [3]. El pensamiento de Platón también influyó de forma notable en la definición del concepto de geometría al plantear en el Timeo un mito cosmogónico, de raíz pitagórica, según el cual ciertas relaciones numéricas y formas geométricas reflejan la estructura armónica del cosmos y, como consecuencia, la ciencia y el arte debían regirse por dichas razones. Como resultado de esta concepción geométrica del espacio no solo se han desarrollado las teorías sobre simetría y proporción que se han aplicado en escultura y arquitectura; sino que también ha caracterizado estilos y épocas artísticas.

Leonardo da Vinci, conocedor de las obras de Euclides y Arquímedes, escribió que «no existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas», y recurrió a modelos geométricos para la descripción de observaciones físicas, mecánicas, aerostáticas, astronómicas e incluso arquitectónicas. Así por ejemplo, para el estudio de los fenómenos ópticos empleó los cuerpos piramidales y las reglas de la perspectiva, y para describir los movimientos de las fuerzas musculares se sirvió del análisis de las superficies curvas. Su representación del Hombre de Vitruvio ha pasado a la historia como un símbolo que recoge las principales ideas del pensamiento renacentista, sobre todo la que se refiere a la concepción del hombre como medida de todas las cosas. El canon vitruviano sitúa las medidas del cuerpo humano en el centro del sistema, ahora bien, son medidas sujetas a un orden superior determinado por las razones geométricas correspondientes a las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe en sus dos posiciones. El hombre del canon podría ser más alto o más bajo, solo es una cuestión de escala, pero las razones entre las diferentes partes del cuerpo respecto a su estatura, que es la razón del modelo de proporciones, serán siempre las mismas.

Román Hernández escribe lo siguiente respecto a la relación entre arte y ciencia expresada mediante la unión de las figuras del círculo y el cuadrado:

«El concepto de hombre microcosmos proporciona a los teóricos del Renacimiento la legitimación para un canon de belleza derivado como sabemos de la figura humana. La representación del hombre dentro del círculo y del cuadrado es, ya no sólo el diagrama de una coordinación elemental del hombre y del cosmos o la verdad de una historia sagrada como en el medievo, sino en primer lugar el símbolo de un canon de belleza resultante de la armonía del mundo. La imagen del homo ad quadratum y ad circulum es, en cierto modo, la encarnación de un arte unido a las matemáticas y a la geometría, expresión de la base racional de la belleza y por tanto ciencias fundamentales para la imitatio naturae.» [4]

Reudenbach subraya que en la representación del canon de Vitruvio de Leonardo el significado básico de las figuras del círculo y el cuadrado, que desde la antigüedad ha sido una expresión de la coordinación entre el micro y el macrocosmos, se mantiene, aunque desplazada hacia un plano que es estrictamente matemático y geométrico [5]. Su concepción particular del canon vitruviano, a diferencia de otras propuestas, introduce una manifiesta asimetría en la composición que responde a una cuidadosa planificación. Las dos figuras tienen sobre el mismo eje centros distintos; en el homo ad circulum situado en el ombligo y en el homo ad quadratum en el sacro. Las claves de la composición radican en la comprensión de esta asimetría que, como se desprende del análisis basado en las proporciones del folio, responde aproximadamente a una razón de 5/3, que puede inferirse del cálculo gráfico de la circunferencia a partir de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, en consonancia con las particiones derivadas del sistema antropométrico de origen griego en relación a la altura del hombre del canon. Leonardo no solo recoge este canon, sino que se suma a una tradición cuya máxima expresión es la ciencia de la construcción. El modelo mediante el cual describe las proporciones del cuerpo humano es aplicable en el campo de la arquitectura [6].

Como apunta Frank Zöllner:

«En el contexto de la revaloración en el Renacimiento de la interpretación matemática de Dios y del mundo, el Hombre de Vitruvio es una figura simbólica a partir de la cual se puede elaborar una teoría sobre el hombre como microcosmos, según la cual, como creación e imagen divina, es un reflejo de la perfección y la armonía del universo. La figura del hombre inscrita en un círculo y un cuadrado simboliza la correspondencia matemática entre micro y macrocosmos. Y para Wittkower también símbolo de la arquitectura, pues un edificio puede ser entendido metafóricamente como un cuerpo humano.» [7]

En Capítulo I del Libro III, Vitruvio se refiere a los conceptos de simetria y proportio como esenciales para los arquitectos, puesto que «no puede ningún edificio estar bien compuesto sin la simetría y proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado» [8]. En efecto, las reglas de proporción vinculan formas con patrones basados en la simetría, por lo que la belleza del cuerpo humano o, dado el caso, de un edificio bien construido, está asociada al cumplimiento de una serie de normas que garantizan el equilibrio y la armonía del conjunto [9]. El más alto nivel de orden se alcanza con el menor número de formas y agrada a la vista no porque sea el producto de las formas en sí mismas, sino porque es resultado de ciertas combinaciones matemáticas, como sucede con la escala musical en donde los intervalos armónicos resultan de dividir una cuerda en medios, tercios y cuartos [10]. La armonía es un concepto abstracto que adquiere forma numérica mediante las leyes de proporción, es decir, la concordancia matemática de las partes entre sí y entre éstas y el conjunto del que forman parte. La representación del canon de Vitruvio de Leonardo, como hemos podido ver, refleja a la perfección el concepto de armonía y proporción en base a una composición en la cual continente y contenido son las dos caras de la misma moneda, una descripción geométrica de las proporciones del cuerpo humano en la cual no intervienen factores que no puedan ser mensurables [11]. Las mismas razones de las proporciones del hombre del canon son las que estructuran el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe en función de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2.

Fijémonos en un detalle que revela la coherencia geométrica del trazado que concibió Leonardo y que es producto, por lo tanto, de un minucioso plan geométrico en el que intervienen el formato del folio, las figuras del cuadrado y el círculo y la cuadrícula de 24 palmas indicada por la regla; variables que confluyen en un punto que se encuentra a 6 palmas del borde inferior del cuadrado (Figura 47).

 

Fig. 47. Detalle de la confluencia de las líneas del trazado que vertebran la composición [12].

 

Como consecuencia de la rigurosa planificación geométrica del trazado a partir de las proporciones del folio se pueden realizar varios análisis, pero solo destacaremos dos ejemplos. En el primero, como se puede ver en las siguientes figuras, se pueden ver tres formas de obtener un rectángulo con idénticas proporciones que las del folio de partida en función de la disposición de la figura del cuadrado (Figuras 48, 49 y 50).

 

 Figuras 48, 49 y 50. Rectángulos con la misma proporción que el folio de partida.

 

En las siguientes imágenes se pueden ver, también en función del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio, otros rectángulos de proporciones notables (Figuras 51, 52 y 53).

     

Fig. 51. Rectángulo 4/3.

Fig. 52. Rectángulo Áureo.

Fig. 53. Rectángulo √5/2.

 

A partir del formato del folio basado en las proporciones de la raíz cuadrada de 2 y el cuadrado dibujado a partir de éste se pueden obtener una serie de rectángulos que ponen de manifiesto la gran versatilidad del modelo concebido por Leonardo, cuyo objetivo es, según palabras de Vitruvio, establecer a partir de un módulo constante y calculado las correspondencias entre las partes de una obra y toda la obra, es decir, siguiendo una serie de reglas empíricas basadas en modulaciones aritméticas.

Cuando Leonardo se planteó cómo dibujar la figura de un hombre con las proporciones indicadas por Vitruvio de forma que se inscribiese en un cuadrado y en un círculo, empleó la herramienta que mejor conocía, partiendo de la tradición de la geometría de regla y compás para llegar a una solución nueva y original. Su propuesta del canon es la más sugestiva de cuantas se conocen, y no solo desde un punto de vista exclusivamente antropométrico, sino desde una perspectiva que engloba otras manifestaciones artísticas, desde la escultura a la arquitectura, pasando por la pintura y la música; pues en todas estas artes el orden de las obras viene dado por estructuras geométricas y matemáticas subyacentes. Es aquí donde radica la importancia de la representación del Hombre de Vitruvio, un magnífico ejemplo de cómo debe emplearse la geometría para describir aquello que observamos en la naturaleza, lo que nos brinda la oportunidad de poder desvelar las leyes que gobiernan el universo y nos proporciona una idea del lugar que ocupamos en este inmenso escenario.

Según Boles y Newman:

«El espacio es la arena de todas las interacciones y como tal es el común denominador de la naturaleza, las matemáticas y el arte. La naturaleza se define como relaciones en el espacio, la Geometría, aquélla parte de las matemáticas que describe las relaciones en el espacio y el arte lo que crea relaciones en el espacio».

Una definición que a buen seguro hubiera suscrito el mismo Leonardo.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


 

[1] Durante la Edad Media, los conocimientos de geometría no se tomaban como valores en sí mismos, sino como una herramienta de control formal. Así por ejemplo, la incorporación de números enteros a la geometría de ciertos polígonos permitió trabajar gráfica y métricamente dando entrada a cálculos proporcionales que permitieron salvar el escollo de tener que manejar los números irracionales implícitos en dichas geometrías. Es posible trazar un triángulo equilátero sin utilizar el compás mediante una regla y una relación de 7 unidades de lado por 6 unidades de altura; lo que implica una aproximación a la raíz cuadrada de tres que tiene un error de tan solo 18 milésimas; o mediante la relación 8/7, que es la misma aproximación, pero por exceso. Lo mismo ocurre con las razones 7/5 y 10/7, que son las aproximaciones, por defecto y exceso, a la raíz cuadrada de 2, y cuyo error es inferior a una centésima.

[2] Euclides es considerado el padre de la geometría. Su tratado Los Elementos ha sido la obra más consultada en la historia después de los textos sagrados de la Biblia y el Corán. Abelardo de Bath hizo una primera traducción del árabe al latín en torno al año 1070. Los teoremas geométricos de Euclides se mantuvieron casi sin variaciones hasta bien entrado el siglo xviii.

[3] «Hasta la segunda mitad del VII a.C., el saber matemático tuvo en Grecia el carácter de conjunto de técnicas y conocimientos de utilidad práctica, propio de las culturas arcaicas. Fueron las influencias del Próximo Oriente y la cultura egipcia las que permitieron que en sólo tres siglos se pasara de este nivel empírico a otro más intelectual, base de la ciencia geométrica occidental durante muchos siglos. Thales de Mileto puede ser considerado como el iniciador de una geometría de regla y compás y el primero en utilizar conceptos abstractos tales como los términos relación y proporción, que tanto juego han dado como vocablos ligados a la arquitectura. Pero el salto definitivo de la observación empírica a la reflexión científica se produjo con la escuela pitagórica que, centrada en la investigación aritmética, consolidó el espíritu científico reconocido por Proclo. Pitágoras, educado según Jámblico en las culturas egipcias y oriental, fue finalmente el artífice del teorema por el que la ciencia de los números alcanza su mayor proyección hasta la aparición del concepto de número irracional, alogos o incalculable, que sin embargo está presente en las figuras geométricas más simples, en los polígonos regulares, las más frecuentes en la geometría plana de regla y compás y la de los poliedros». José Antonio Ruiz de la Rosa, De geometría y arquitectura.

[4] Román Hernández González, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y homo ad quadratum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p 14.

[5] FLASCHE, H.: Similitudo templi. Zur Geschichte einer Metapher Deutsche Vierteljahrschrift für Literaturwissenschaft und Geistesgeschichte 23 23, 1949, pp. 81-125; cit. por REUDENBACH, p. 669.

[6] «Al igual que el cosmos, ese microcosmos debía obedecer a las leyes universales, es decir, a las leyes de la perfección geométrica, consideración que, como sabemos, se remonta al tratado de arquitectura de Vitruvio, asentándose la idea, a lo largo de los siglos medievales, de que la perfección de lo humano estaba en relación con Dios. Esto se llegó a convertir en una verdadera obsesión. Se trata de una cuestión que recogerán tanto Alcuino, San Agustín y Tomás de Aquino como Hildegarda, quienes consideraron al Homo quadratus como ideal de perfección y a Cristo como el creador de nuestro cuerpo. A Dios se le concebía, por tanto, como el creador del universo, aquel que con su compás creó la figura suprema que es el círculo. (…) En el pensamiento medieval, Dios era un geómetra, un matemático; la arquitectura divina no podía ser otra que la emanada de la perfección de las formas simples y, a la vez, absoluta como las circulares y las cuadradas». Román Hernández González, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y ad quadrtaum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p4.

[7] Frank Zöllner. L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 333.

[8] El del capítulo I del libro III del tratado de Vitruvio se presenta como una teoría sobre las proporciones del cuerpo humano. Aunque es una teoría que aparece en una obra de carácter arquitectónico, establece, por un lado, una relación con unidades metrológicas y, por otro, con una teoría numérica basada en ciertos conceptos pitagóricos. Román Hernández González, “El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción”. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, Julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, págs. 99-109.

[9] «La importancia de la armonía musical para los arquitectos del Quattrocento y del Cinquecento, el significado de la planta central de las iglesias que se construyeron en el Renacimiento y el Hombre de Vitruvio inscrito en un cuadrado y un círculo como canon antropométrico y su importancia, según Wittkower y otros investigadores, son símbolos de la arquitectura renacentista al tratarse de un canon de proporciones.» Frank Zöllner. L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 331.

[10] Las figuras geométricas empleadas en la proyección de los trazados son básicamente tres: el círculo, el cuadrado y el triángulo. Una vez escogidas, las formas se combinan de manera que las partes más pequeñas generen conjuntos mayores. Las técnicas de adición, sustracción y duplicación para obtener cuadrados y rectángulos de distinto tamaño son fundamentales para garantizar el equilibrio entre las diferentes partes del conjunto. Estas técnicas se pueden observar en edificios tardo-romanos de planta central y posteriormente también en el arte bizantino e islámico, para alcanzar sus más altas cotas de perfección en los métodos empleados en la construcción de las catedrales medievales. Mediante estos tipos de trazados, los arquitectos medievales «eran capaces de realizar operaciones gráficas sin la necesidad de utilizar escalas, ya que todos los elementos están referenciados respecto a uno fijado previamente. Esta trama sólo se descubre al realizar el correspondiente levantamiento gráfico del mismo. Es entonces cuando apreciamos la utilización de sencillas figuras geométricas para su elaboración: cuadrados, círculos y triángulos, que debidamente relacionados componen una planta» Ruiz De La Rosa, José Antonio, Traza y simetría de la arquitectura. En la antigüedad y medievo. Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 1987.

[11] Para más información sobre los orígenes y las medidas de la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio

[12] «El dibujo de Leonardo ilustra el concepto vitruviano que presenta como regla canónica el cuerpo humano con perfectas proporciones, aquel que se inscribe en el cuadrado y en el círculo, por lo que no debe considerarse este dibujo como la representación del microcosmos, sino como un estudio de proporciones. este dibujo difiere enormemente de aquellas representaciones aparentemente idénticas que aparecen en los manuscritos de la Edad Media, porque no es el resultado de la especulación cosmológica, sino de los numerosos experimentos antropométricos que realizara el artista». Liber Divinorum Operum, Parte Iª, visión IV, para. 15, P. L. 197, col 814c; cit. por SAXL, F.: La vida de las imágenes, Alianza Forma, Madrid, 1989, ilust. 36a. Existe edición en castellano por V. Cirlot, Vidas y visiones de Hildegarda von Bingen, Siruela, Madrid, 1997.