Capítulo 1. Análisis de las dimensiones y el formato del folio

En 1490 Leonardo dibujó, a tinta y lápiz sobre papel, la figura de un hombre desnudo en dos posiciones: en reposo, con los brazos en cruz y las piernas juntas en forma de “T”, y en movimiento, con los brazos y las piernas extendidos adoptando la forma de una “X” [1]. En sus dos posiciones, la figura humana se inscribe en las figuras de un cuadrado y un círculo cuyos centros están situados en el sacro y el ombligo; estableciéndose una relación cuyo objetivo es describir las proporciones ideales del cuerpo humano según las indicaciones transmitidas por Vitruvio en su tratado de arquitectura, tal y como dejó escrito el mismo Leonardo en unas anotaciones realizadas en el folio [2].

El cuerpo humano ha sido tomado como modelo y expresión de la naturaleza desde que Protágoras afirmase que “el hombre es la medida de todas las cosas, de las que son mientras son y de las que no son mientras no son”. Así lo entendió también Vitruvio, que expone las proporciones ideales del homo bene figuratus que instauraron la teoría del homo ad quadratum, según la cual la altura de un hombre es igual a la longitud de sus brazos extendidos, por lo que la figura queda inscrita en un cuadrado, y la teoría del homo ad circulum, que sitúa al hombre en posición decúbito supino, con los brazos y las piernas extendidos, inscrito en un círculo cuyo centro natural se sitúa en el ombligo. El tratado de arquitectura de Vitruvio, escrito a principios del siglo I en griego y latín clásicos, que nos ha llegado no contiene ilustraciones, por lo que ha sido variadas las representaciones de los principios geométricos y arquitectónicos descritos por el ingeniero romano[1]. En lo que respecta al modelo del canon antropométrico que nos ocupa, las representaciones más antiguas son de la Edad Media, aunque se trata de vagas expresiones de los principios geométricos sobre proporciones que recoge Vitruvio en su tratado de arquitectura. Hasta finales del siglo xv nadie había tratado de averiguar, regla y compás en mano, cómo inscribir en un círculo y en un cuadrado la figura de un hombre del canon ateniéndose a las proporciones descritas en el capítulo I del Libro III del tratado de arquitectura [4].

El primero en abordar el problema, alrededor de 1480, fue el arquitecto Francesco di Giorgio Martini, quien realizó un boceto, aunque no se corresponde en muchos aspectos con el texto original del canon, sobre todo, y lo que es más importante, en cuanto a que el centro del círculo deber situarse en el ombligo para la posición con los brazos y las piernas extendidos. En esta representación del canon, el hombre se inscribe en las figuras de un círculo y un cuadrado cuyos centros están situados en el sacro (Figura 1).

 

Fig. 1. El hombre de Vitruvio de Francesco di Giorgio. Trattato di architettura civile e militare, Turín, Biblioteca Reale, codice Saluzziano 148, f. 6v.

 

Leonardo interpretó el canon de otra forma, partió del texto de Vitruvio, pero introdujo algunos cambios como apunta Luis Castaño en sus trabajos [5]. Mantuvo el esquema del hombre inscrito en un círculo con centro en el ombligo, aunque para una figura de pie y movimiento, con los brazos extendidos en forma de “X”, añadiendo la posición del cuerpo en reposo, con las piernas juntas y los brazos en cruz, inscrito a su vez en un cuadrado cuyo centro se sitúa en el sacro [6]. Esta forma de separar los centros de las figuras del del círculo y el cuadrado es novedosa, aunque al parecer, y como sabemos por las recientes investigaciones de Claudio Sgarbi, es probable que Leonardo se hubiese inspirado en una representación del canon del arquitecto Giacomo Andrea (ver Anexo II) [7]. En cualquier caso, el hecho que sean dos los centros de gravedad de la figura del cuerpo humano es lo que convierte su propuesta del canon antropométrico de Vitruvio del artista italiano en la más interesante. Es natural que haya sido objeto de numerosos estudios sobre los aspectos geométricos y matemáticos que se desprenden de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon. Han pasado cinco siglos, pero la composición sigue despertando curiosidad, invitando a profundizar en la naturaleza de las claves de la más célebre de las representaciones sobre las proporciones del cuerpo humano.

A pesar de que los centros de las dos figuras no se encuentran en la misma posición, o quizás precisamente por ello, al contemplar la composición se percibe una sensación de equilibrio que no se ve alterada por la asimetría, más bien al contrario, pues le confiere un particular dinamismo. Podría parecer que el propósito de las anotaciones realizadas por Leonardo en el folio sea ilustrar las razones del sistema de proporciones del canon descrito por Vitruvio; no obstante, también se refieren a la relación geométrica que establece entre las figuras del círculo y el cuadrado.

Como escribe Pedro Tomás Vela:

«Las figuras aparentan haber sido trazadas con el único propósito de enmarcar la figura del hombre y se representan dibujadas con unas medidas adecuadas para dicha finalidad, sin que se presuma la existencia de cualquier otra relación aparentemente distinta entre ellas. Sin embargo, esa relación existe y como se verá, está perfectamente definida, aunque muy bien disimulada» [8].

No se equivoca, porque tras la disposición de las figuras del círculo y el cuadrado se adivina la presencia de un enigma que, como podremos ver, contiene el enunciado del problema y su solución. En este trabajo nos centraremos en la manera de trazar las dos figuras en busca del orden interno de la composición. Sabiendo lo exigente que era el artista italiano es lógico pensar que no comenzara el trazado sin antes haber analizado en profundidad aquello que se disponía a representar y que para ello hubiese buscado una estrategia geométrica para establecer las líneas maestras de la composición, que pasaría por tener que apoyarse en el formato de la cuartilla. En efecto, y como podremos comprobar, si se aplican unos pequeños márgenes, es posible determinar, en función de la anchura del folio, la ubicación y las dimensiones del cuadrado y, a partir de éstos, el centro del círculo y la medida del radio.

Sin embargo, lo más sorprendente es que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon en su posición en movimiento resulta ser el doble de la longitud del folio de partida. Un problema geométrico que podría plantearse de la siguiente forma: escoger una cuartilla y trazar a continuación una circunferencia cuyo perímetro sea dos veces su longitud. Resolver este problema no tiene nada de sencillo, pues tendremos que partir de un folio con unas proporciones muy concretas, como al parecer hizo Leonardo, que por una serie de razones deberán ser las de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. Todo un rompecabezas geométrico que cuesta creer sea debido a una casualidad, más bien al contrario, pues del análisis geométrico que hemos realizado se desprende que habría una tercera figura en la composición, además del círculo y el cuadrado, que no ha sido tenida en cuenta, y ésta sería el rectángulo que forma la cuartilla de partida, el marco a partir del cual se vertebra el orden geométrico de la composición de Leonardo sobre las proporciones del cuerpo humano. De este modo, no solo es posible dibujar con gran precisión las figuras del círculo y el cuadrado, sino hallar las razones de su ubicación respecto al folio de partida, como era preceptivo durante el Renacimiento, cuando en la pintura se introdujeron las reglas de perspectiva y el lienzo adquirió un protagonismo que antes no tenía, convirtiéndose en el marco a partir del cual se estructuraba geométricamente la composición.

Como Leonardo no dejó nada escrito sobre esta cuestión, ni tampoco indica en sus notas que la representación del canon antropométrico de Vitruvio oculte un orden basado en las proporciones del folio, no podemos demostrar que el trazado sea el que realmente concibió, pero tampoco es nuestro objetivo. Nos hemos limitado a realizar un análisis de las correspondencias geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y el formato del folio, así como proponer una forma sencilla de dibujarlas a partir de estos parámetros. Como podría parecer lo más lógico, todos los estudios sobre las relaciones geométrico-matemáticas entre las dos figuras dibujadas por Leonardo parten de una de ellas para hallar la otra. Sin embargo, en algunos casos las propuestas llegan a ser bastante complejas, teniendo que recurrir a intrincadas operaciones geométricas que nada o muy poco tienen que ver con el trazado original. El papel lo admite todo, y en matemáticas siempre hay una forma de llegar del punto A al punto B, aunque según el principio de la navaja de Ockham la solución más sencilla sea siempre la más probable. Ésta ha sido nuestra máxima: buscar la forma de trazar las figuras del círculo y el cuadrado con el menor número de movimientos que sea posible. El modelo que proponemos, aunque introduce una nueva variable en la ecuación, permite dibujar las dos figuras de forma sencilla teniendo en cuenta, además, las anotaciones de Leonardo en relación al canon descrito por Vitruvio. La variable que facilita el trazado es de orden geométrico, pues se trata de un modelo, como hemos dicho, basado en las proporciones de la cuartilla, un formato bien conocido en el Renacimiento gracias, entre otras fuentes, al tratado de arquitectura del ingeniero romano [9].

Cuando comenzamos este estudio, uno de nuestros objetivos era determinar con la mayor exactitud que fuese posible la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado. Pronto nos dimos cuenta que esto implicaba el tener en cuenta las dimensiones del folio, y para ello necesitábamos contar con una reproducción que se ajustase a sus medidas reales. Solo así sería posible realizar un análisis del trazado con un error que no fuese superior al de una milésima por metro. Lo cierto es que, con algunas excepciones, no se ha prestado atención a las dimensiones del folio y, menos aún, a sus proporciones [10]. Según Frank Zöllner mide 344,00 x 244,00 mm, aunque al parecer no es un dato del todo correcto [11]. Según Valeria Poletto, directora del Gabinetto di disegni e stampe de la Galleria de l’Academia de Venecia, donde se encuentra guardado, sus dimensiones son 246,00 x 345,00 mm, y éstas son a las que nos atendremos para el escalado de la imagen digital del folio que emplearemos para el análisis geométrico de la representación de Leonardo.

Pero antes de comenzar con el análisis de la composición es necesario subrayar algunos de los problemas que nos hemos encontrado y las soluciones que hemos adoptado. La mayor dificultad radica en establecer el escalado de la imagen digital del folio necesario para extrapolar la longitud de la regla dibujada por Leonardo, que debe ser igual a la de los lados del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Es una operación en la que un pequeño error en la determinación de las dimensiones del folio a partir de los márgenes puede producir desviaciones de hasta unos 2 mm en la longitud de la regla. La irregularidad de los bordes impide precisar el rectángulo a partir del cual establecer las dimensiones absolutas del folio. Admitiendo que cabe este pequeño margen de error, que es de aproximadamente un 1,00%, una vez escalada la imagen digital de modo que mida 246,00 x 345,00 mm, la longitud de la regla es efectivamente de unos 180,00 mm.

Si nos fijamos en los lados del cuadrado descubrimos que no es perfecto. Sus longitudes oscilan entre los 179,60 mm y los 180,00 mm; unas desviaciones que son despreciables a efectos prácticos, pues es imposible obtener una precisión en el trazado por debajo de la milésima de metro. Para corroborar la medida de la regla obtenida con el escalado de la imagen digital nos ha sido de gran ayuda el trabajo de Luis Castaño sobre el sistema métrico que empleó Leonardo para realizar la representación del canon antropométrico. Según las medidas que pudo tomar en una visita que realizó a la Galleria de l’Academia de Venecia, tanto la regla como los lados del cuadrado miden 180,00 mm, tal y como se desprende del escalado de la imagen digital que previamente habíamos realizado a partir de las medidas que Valeria Polleto nos ha proporcionado [12].

También hemos contado con la colaboración de Martin J. Kemp, especialista en la obra de Leonardo, a quien agradecemos que se haya preocupado por comprobar la validez de las medidas de la figura del cuadrado sobre un facsímil que se guarda en la universidad de Oxford [13]. Ha podido verificar que, en efecto, los lados del cuadrado presentan ligeras desviaciones, evidenciando la dificultad que entraña el trazar sobre el papel una simple figura empleando la regla y el compás, pero que en ningún caso sus longitudes son inferiores a los 179,00 mm ni superiores a los 180,00 mm.

En la siguiente tabla se muestran las medidas de los lados del cuadrado según Luis Castaño, Martin J. Kemp y según la imagen digital que hemos escalado considerando que las dimensiones del folio son 246,00 x 345,00 mm (Tabla 1).

 

Segmento

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Media

Lado superior

180,00 mm

179,00 mm

180,00 mm

179,67 mm

Lado inferior

180,00 mm

180,00 mm

180,05 mm

180,02 mm

Lado derecho

180,00 mm

179,00 mm

179,98 mm

179,66 mm

Lado izquierdo

179,00 mm

180,00 mm

179,80 mm

179,60 mm

Media

179,75 mm

179,50 mm

179,97 mm

179,74 mm

 

Tabla 1. Medidas del cuadrado en el cual se inscribe el hombre del canon según Luis Castaño (valor 1), Martin J. Kemp (valor 2) y la imagen digital empleada en este trabajo (valor 3) una vez escalada considerando que las dimensiones de la cuartilla son 246,00 x 345,00 mm y de la regla dibujada por Leonardo 180,00 mm.

 

Hay que tener en cuenta, en lo que se refiere a las posibles desviaciones del trazado, el grado de precisión con el que trabajó Leonardo. Ahora tomamos medidas con una regla dividida en milésimas de metro, mucho más exacta que la que pudo emplear el polímata florentino. Según el canon recogido por Vitruvio, la altura del hombre ideal es de 24 palmas [14]. Cada palma se divide a su vez en 4 dedos, que es la unidad métrica mínima del sistema, tal y como está indicado en la regla dibujada en el folio (Figura 2).

 

Fig. 2. Divisiones en la regla de donde se infiere que la altura del hombre del canon, como indican las notas basadas en el tratado de Vitruvio, es de 4 codos de 6 palmas cada uno (6 x 4 = 24), y que las palmas se dividen a su vez en 4 dedos [15].

 

Si la regla tiene una longitud de 180,00 mm (± 0,26 mm), entonces la unidad mínima del sistema métrico es de 1,875 mm (180,00 mm entre 96 dedos), lo que significa que Leonardo trabajaba casi con la mitad de la precisión que nos ofrece en la actualidad una regla dividida en milímetros. A pesar de ello, el trazado es muy preciso si tenemos en cuenta los factores que pueden producir desviaciones. En primer lugar, por la técnica empleada. Si dibujamos un cuadrado de 10 cm con un lápiz cuya punta tenga el grosor de 1 mm, tendremos, cuanto menos, una desviación del mismo orden de magnitud. En segundo lugar, hay que contemplar los posibles errores cometidos en la ejecución del trazado, que se acumulan tras cada uno de los movimientos realizados con la regla y el compás. Hoy en día gracias a los ordenadores trabajamos con una precisión que hubiese dejado estupefacto al mismísimo Leonardo  y que, sin duda, le hubiese sido de gran ayuda [16]. Por último, hay que añadir el grado de error del escalado de la imagen digital que hemos realizado, pues en toda toma de medidas se contempla siempre un margen de desviación.

Teniendo en cuenta todos estos factores, la longitud de la regla y, por lo tanto, de los lados del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon, es de 180,00 mm (± 0,26 mm). Si escalamos la imagen digital considerando esta magnitud, es decir, tomando como referencia la longitud de la regla en lugar de las dimensiones del folio, las medidas cuadran con las indicadas por los responsables de la Galleria de l’Academia de Venecia, es decir, 246,00 mm de ancho por 345,00 mm de largo (± 1,00 mm). Pero hay otro motivo por el cual creemos que la escala basada en una regla de 180,00 mm es correcta, y es que se trata de una magnitud de la que se desprende el valor de la palma, una unidad métrica cuyos orígenes se encuentran en el sistema griego, sistema del que habría partido Vitruvio para la descripción del canon antropométrico. Las divisiones que hizo Leonardo en la regla no dejan lugar a dudas. Si convenimos que tiene una longitud de 180,00 mm, cada una de las 24 divisiones mide 7,5 mm o, lo que es lo mismo, el valor teórico de 1/10 de palma [17].

La siguiente figura corresponde a la imagen digitalizada del folio que hemos empleado para realizar el análisis geométrico. Su dimensiones son de 2584 x 3570 píxeles (218,78 x 302,26 mm), tienen una resolución de 300 píxeles y una profundidad de 24 bits. La escala de 10 píxeles por milímetro permite tomar medidas mediante cualquier programa de edición de imágenes sin tener que realizar ninguna conversión (Figura 3).

 

Fig. 3. El Hombre de Vitruvio. Dibujo a tinta y lápiz sobre papel (carta bianca de 246,00 x 345,00 mm) y escala digital de 10 píxeles por milímetro considerando que la regla dibujada por Leonardo mide 180,00 mm.

 

Hasta aquí los problemas relacionados con la determinación de las dimensiones del folio y el escalado de la imagen digital. Veamos ahora las ventajas y los inconvenientes del trazado propuesto en este trabajo basado en las proporciones de la cuartilla que empleó Leonardo. Lo más interesante del modelo de trazado es que, con independencia de las medidas del folio, al partir de sus proporciones la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado es la misma para todas las escalas, por lo que es posible dibujarlas a partir de simples fracciones de números enteros, aunque esto suponga perder algo de precisión respecto a sus dimensiones máximas al optar por establecer unos márgenes que ayudan a centrar y ajustar la composición del trazado a realizar.

Con el trazado basado en las proporciones del folio, y partiendo de sus dimensiones máximas (246,00 x 345,00 mm), llegamos a un cuadrado que mide 184,50 mm, un valor muy por encima del esperado. Para obtener un cuadrado cuyos lados midan exactamente 180,00 mm tenemos que contemplar unos márgenes, y restar 2,50 mm a la anchura y 2,25 mm a la longitud del folio, quedando un área de trazado final de 240,00 x 340,00 mm. En adelante nos referiremos a este rectángulo con el nombre de “área de trazado”. En la Figura 4 se puede ver la diferencia entre las dimensiones máximas del folio y las del área de trazado una vez establecidos los márgenes.

 

Fig. 4. De color amarillo las dimensiones del folio (246,00 x 345,00 mm), y de color rojo las correspondientes al área teórica de trazado (240,00 x 340,00 mm).

 

Lo más lógico es que para realizar el trazado Leonardo hubiese establecido un marco, que aprovecharía para fijar la cuartilla de papel y centrar la composición respecto a los márgenes que, como hemos visto, son algo irregulares. De hecho, el eje vertical sobre el que se sitúan los centros del círculo y el cuadrado no se encuentra a la misma distancia de los bordes del folio, teniendo que restar 2,75 mm al lado derecho y 1,65 mm al izquierdo para que sean equidistantes. Si aceptamos que nuestra hipótesis es correcta, sin referencias es imposible trazar las figuras a partir de las proporciones del folio. Sin un marco que acote el área de trazado se hace difícil colocar el compás en los bordes y las esquinas sin disponer de un punto a partir del cual asegurar el trazo [18]. En las siguientes figuras se puede ver el resultado del trazado basado en las proporciones del folio para mostrar el orden de magnitud del error sin contemplar los márgenes y la exactitud del mismo si los tenemos en cuenta (Figuras 5 y 6).

 

Fig. 5. De color amarillo el cuadrado de 184,50 mm y la circunferencia resultantes de aplicar el trazado partiendo de las dimensiones máximas del folio (246,00 x 345,00 mm). Fig. 6. De color rojo el cuadrado de 180,00 mm y la circunferencia que se obtienen con el mismo trazado, pero teniendo en cuenta unos márgenes de 2,25 mm y 2,50 mm de donde se desprende un área de trazado de 340,00 x 240,00 mm), y que son coincidentes con las figuras dibujadas por Leonardo en un 99,96%.

 

Las figuras resultantes del trazado propuesto partiendo de las dimensiones máximas de la cuartilla son mayores que las dibujadas por Leonardo, y sus centros se sitúan algo por encima de los centros reales. Por el contrario, si consideramos los márgenes, el trazado es exacto, y por ello creemos que hay razones para proponer una hipótesis sobre la relación de las figuras del círculo y el cuadrado con las proporciones de la cuartilla. Se hace difícil pensar que Leonardo, sin ser consciente de ello, hubiese logrado un grado de aproximación que es, en el peor de los casos, del 98%, lo que se traduce, en cuanto a las dimensiones de las figuras se refiere, en un error de uno por cada cien milímetros, una diferencia que apenas es perceptible a simple vista. En todo caso, y aún admitiendo estas pequeñas discrepancias, subrayar que éstas no afectan al análisis geométrico de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado, ya que se trata de un cálculo basado en las proporciones del folio. La reducción de sus dimensiones máximas de 246,00 x 345,00 mm a las del área de trazado de 240,00 x 340,00 mm no altera el formato, es más, gana en precisión al pasar de una proporción de 7/5 a una que es igual a la raíz cuadrada de 2, un aspecto que, como veremos, sería parte fundamental de la concepción del trazado. Una vez aclarada la problemática que plantean las dimensiones del folio y establecido el orden del rango de error del trazado basado en sus proporciones, veamos qué podemos decir del formato que escogió Leonardo para su representación del Hombre de Vitruvio. Una vez aclarada la problemática que plantean las dimensiones del folio y establecido el orden del rango de error del trazado basado en sus proporciones, veamos qué podemos decir sobre el formato que escogió Leonardo para su representación del Hombre de Vitruvio.

Es sorprendente que nadie haya reparado en la importancia de las proporciones de la cuartilla de partida. Al dividir la longitud por la anchura el cociente resultante es una aproximación a la √2 de un 99,17%, es decir, una proporción de 7/5. Un rectángulo que se obtiene, por lo tanto, a partir del abatimiento de la diagonal del cuadrado sobre uno de sus lados (Figura 7). Bucher llamó diagon a este tipo de rectángulos y Wolfgang von Wersin lo describió como uno de los doce ortoedros más apreciados en la historia de la arquitectura [19].

 

 Fig. 7. Rectángulo igual a la √2.

 

Si consideramos los valores del área de trazado (240,00 x 340,00 mm), el cociente resultante es 1,414; una aproximación a la √2 aún más precisa, de un 99,83%. En este trabajo nos referiremos al cuadrado a partir del cual se obtiene la longitud total del rectángulo del folio (ABCD) con el nombre de “cuadrado rector” (CDEF), para diferenciarlo del cuadrado dibujado por Leonardo en el que se inscribe el hombre del canon en su posición en reposo con los brazos en cruz (Figura 8).

 

Fig. 8. “Cuadrado rector” base del rectángulo igual a la √2 (CDEF).

 

Del cuadrado, que podríamos decir que es un rectángulo en donde la relación entre sus lados es de 1 a 1, se derivan los llamados rectángulos dinámicos mediante una sencilla operación geométrica. El rectángulo cuya proporción es igual a la raíz cuadrada de 2 se construye a partir de un cuadrado, llevando la diagonal sobre la prolongación de su base. Si repetimos la operación y abatimos la diagonal del nuevo rectángulo sobre la prolongación del lado mayor, obtendremos entonces un rectángulo cuyos lados están en una relación que es igual a la raíz cuadrada de 3 (Figura 9).

 

Fig. 9. Reglas de formación de los rectángulos dinámicos a partir de las sucesivas diagonales.

 

Una particularidad de este tipo de rectángulos que tiene que ver con la tradición constructiva recogida en el tratado de Vitruvio es que, al restar al “cuadrado rector” la longitud total del folio, se forma en la parte superior un rectángulo (ABEF) cuyos lados (BF y EF) son los catetos de un triángulo pitagórico 5/12/13 o, lo que es lo mismo, una de las escuadras más apreciadas por los ingenieros y constructores romanos (Figura 10) [20]. Más adelante veremos que este rectángulo juega un papel importante en el trazado, pues su perímetro (ABEF) es igual al doble de la longitud del folio (AC = BD = 2 ABEF).

 

Fig. 10. Escuadra pitagórica 5/12/13 que se forma en los rectángulos igual a la √2.

 

Sigamos con el análisis del formato de la cuartilla. Como prueba de la importancia que los rectángulos basados en la diagonal del cuadrado han jugado y juegan en la historia, y no solo en el campo de la arquitectura y en el mundo del arte, sus proporciones son las mismas que las que emplea la moderna industria papelera para establecer el estándar del formato DIN [21]. La idea subyacente del modelo consiste en hallar la mejor forma de aprovechar el papel para disminuir los costes de producción. En la denominada serie A, la plantilla base es una cuartilla de papel, denominada A0, que tiene una superficie de un metro cuadrado [22]. En un pliego de papel con este formato, sus lados guardan una proporción tal que, dividiéndolo por la mitad de su longitud, cada una de las mitades sigue guardando las mismas proporciones respecto a las del pliego inicial. Para que se cumpla esta propiedad los lados del rectángulo deben guardar la siguiente relación, siendo x e y los lados mayor y menor respectivamente:

Las dimensiones del folio que empleó Leonardo son algo superiores, 246,00 x 345,00 mm, frente a los 297,00 x 210,00 mm del actual DIN-A4, pero sus proporciones son exactamente las mismas, y están basadas, por tanto, en las propiedades geométricas del rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, como se puede ver en Figura 11, en donde hemos superpuesto el folio sobre una plantilla del estándar ISO 216 basado en el sistema métrico decimal.

 

Fig. 11. Formato de papel ISO 216. El folio empleado por Leonardo vendría a ser un DIN A4

 

En la tradición arquitectónica hindú se recogen hasta 72 formas de dividir un rectángulo siguiendo estrictos criterios de proporcionalidad y semejanza, aunque se pueden resumir en tres reglas, como se muestra en la Figura 12. 

Fig. 12. Reglas de división de un rectángulo según criterios de proporcionalidad y semejanza.

 

Todo indica que Leonardo conocía bien las reglas de proporcionalidad y semejanza que son aplicables a este tipo de rectángulos, y que las empleó para establecer los puntos de referencia a partir de los cuales trazar las figuras del círculo y el cuadrado en las que inscribir el hombre del canon en sus dos posiciones.

Una de las evidencias que indican que Leonardo pudo servirse del “cuadrado rector” derivado de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 es que el lado superior coincide con la posición de los brazos en cruz del hombre del canon, en el punto donde los dedos medios tocan el cuadrado que es igual a su altura (Figura 13).

 

Fig. 13. El punto donde los dedos medios del hombre del canon tocan el cuadrado que es igual a su altura coincide con el lado superior del “cuadrado rector” a partir del cual se obtienen las dimensiones totales del folio (246,00 x 345,00 mm), de color amarillo, o bien las dimensiones del área de trazado (240,00 x 340,00 mm), de color rojo, una vez aplicados los márgenes.

 

El establecimiento de los márgenes no solo ayuda a centrar la composición, puesto que, y como hemos indicado, el centro del ombligo no se encuentra a la misma distancia de los bordes del folio a derecha e izquierda, sino que permite trazar el “cuadrado rector” de modo que el lado superior coincida con el punto señalado por los dedos del hombre del canon (Figura 14).

 

Fig. 14 . Detalle de los puntos del cuadrado señalados por los dedos del hombre del canon y correspondencias con el lado superior del “cuadrado rector”. De color amarillo las dimensiones máximas del folio y de color rojo las del área teórica de trazado.

 

Hay otro detalle que refuerza la teoría del “cuadrado rector” como eje vertebrador de la composición. Leonardo trazó un segmento a la altura de los hombros, probablemente para servir de guía al comenzar el trazado, que también coincide con el lado superior del “cuadrado rector” del folio de partida (Figura 15).

 

Fig. 15. Detalle del segmento dibujado entre los hombros, a la altura de los brazos extendidos en cruz, a la misma altura que el punto donde el dedo medio de la mano derecha toca el lado del cuadrado.

 

No son más que indicios, aunque reveladores. Una vez descubierta la importancia que juega el formato del folio en la composición, veamos cómo podemos servirnos de sus proporciones para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon en sus dos posiciones.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


[1] Las expresiones “Hombre en T”, “Hombre en X”, “Hombre en I” y Hombre en Y” son términos empleados por Luis Castaño Sánchez a lo largo de su investigación sobre la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo para describir las posturas de los modelos de Leonardo da Vinci, de Vitruvio y de Giacomo Andrea de Ferrara. Para más información se pueden consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez: Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-14 (Figuras 5-16 y Figura 21).

[2] El tratado de Vitruvio, escrito en torno al siglo I d.C., es una obra compuesta por diez libros que recogen la teoría y la práctica de la arquitectura en la antigüedad clásica, entre los que destacan los relativos a los conceptos de simetría, proporción y aquéllos otros que versan sobre las medidas que debe guardar toda edificación, pero también el cuerpo humano, pues se trata de construcciones divinas. Es una fuente documental muy valiosa por la información que aporta sobre la pintura y la escultura griegas y romanas. Como escribe Román Hernández, en referencia al tratado de Vitruvio, «en general, el texto contenido en el citado libro debe entenderse como la transmisión antigua más notable y que mayor repercusión tendría en el futuro, puesto que será punto de partida para que eruditos y artistas posteriores establezcan sus correspondientes teorías sobre la proporción. Su importancia estriba, en gran medida, en la aportación de un nuevo concepto al estudio de las proporciones en el arte, ya que se trata del único texto -si exceptuamos el relato de Diodoro acerca de los escultores del periodo arcaico griego influenciados por los egipcios- merced al cual se aportan, por primera vez, números en relación a las proporciones. Dicho texto parece estar orientado a establecer una relación sencilla entre las medidas de la figura humana con su estatura total, mediante razones de números bajos.» González Román Hernández, El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, pp. 99-109.

[3] «El tratado de Vitruvio llega a los renacentistas sin ilustraciones originales. El dibujo de Leonardo es la genial interpretación de un texto confuso. Su simple comparación con los dibujos de otros ilustradores del romano, justifica el elogio de Vasari:“(…) distante del resto de los hombres, sus cualidades aparecen como otorgadas por Dios y no adquiridas por industria humana.» Ernesto Fernández, Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (Reflexiones sobre los Principios de la Medida). http://bahai-library.com/pdf/f/fernandez_platon_leonardo_carmel.pdf.

[4] «El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, ésta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que la que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra. Por tanto, si la naturaleza ha formado el cuerpo humano de modo que sus miembros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron también esta relación en la realización completa de sus obras, donde cada una de sus partes guarda una exacta y puntual proporción respecto a la forma total de su obra. Dejaron constancia de la proporción de las medidas en todas sus obras, pero sobre todo las tuvieron en cuenta en la construcción de los templos de los dioses, que son un claro reflejo para la posteridad de sus aciertos y logros, como también de sus descuidos y negligencias». [3] Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp 82-83.

[5] Luis Castaño Sánchez, La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.

[6] «Los comentaristas y los ilustradores de Vitruvio a lo largo de la historia han propuesto soluciones muy diferentes en cuanto a la posición de las piernas y los brazos para inscribir la figura del hombre del canon en un círculo. Ghiberti y C. Martínez con los brazos extendidos en cruz; Leonardo, Durero y Juan de Arfe levantados a la altura de la cabeza; Cesariano los dibujó con un ángulo de 45 grados y Cornelius Agrippa los dispuso verticalmente.» González Román Hernández, El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, septiembre, Barcelona, 2005, p.5.

[7] En la representación de Giacomo Andrea la disposición de las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon es exactamente la misma que la de Leonardo. Claudio Sgarbi asumió inicialmente que el dibujo hallado en la biblioteca Ferrara tenía que ser una copia del que hizo Leonardo, puesto que las correspondencias entre las dos representaciones son demasiado evidentes para considerar que se deben a una coincidencia. Pero cuando estudió la representación con detalle pudo observar muchas correcciones innecesarias si el ilustrador hubiese partido previamente de la ilustración de Leonardo, lo que le llevó a concluir que la solución de colocar los centros de las figuras del círculo y el cuadrado en el ombligo y el sacro, quizás fuese anterior a la propuesta de Leonardo. Posteriormente, Sgarbi descubrió que la ilustración había sido realizada por el arquitecto Giacomo Andrea de Ferrara, que fue amigo de Leonardo como sabemos por sus notas y que, además, era un gran conocedor del tratado de arquitectura de Vitruvio (ver Anexo II). Claudio Sgarbi, Giovanni Giocondo umanista, architetto e antiquari, Centro Intenazionalle dei Studi di architettura Andrea Palladio, Marsilio Editori, Venecia, 2014. Pp. 121-138.

[8] Pedro Tomás Varela, El Hombre de Vitruvio, http://es.scribd.com/doc/86456625/El-Hombre-de-Vitruvio.

[9] «La importancia que adquirió el texto vitruviano en el Renacimiento viene refrendada por la primera y extensa edición de Vitruvio por Fray Giacondo, Venecia (1511), quien al comienzo del tercer libro introduce dos grabados para ilustrar el tema que tratamos. Por su parte, Cesarino, en el Vitruvio de cómo (1521), muestra dos completas ilustraciones  a las que titula Humani corporis mensura et ab eo omnes symmetrias eurythmiatas et proportionatas geometrico schemate invenire ut adest figura. En una de ellas vemos una figura con cabeza demasiado pequeña y las piernas y los pies demasiado grandes». González Román Hernández, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y ad quadratum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p8.

[10] Luis Castaño midió en 2011 la regla y los lados del cuadrado dibujados por Leonardo y advirtió que su longitud era de 180 mm exactos. Esto nos ha permitido calibrar el escalado de la imagen digital de la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo que hemos realizado a partir de las medidas que nos han proporcionado los responsables de la Galleria de l’Academia de Venecia. Estos datos nos permiten conocer el grado de aproximación que alcanzamos con la propuesta de trazado para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado a partir de las proporciones del folio. Para Luis Castaño la medida de 180,00 mm es un dato al que no se le habría prestado toda la atención que merece y tendría una gran importancia para los estudios de metrología de los sistemas de medidas del mundo antiguo en relación al canon recogido por Vitruvio en su célebre tratado de arquitectura y a la representación de Leonardo da Vinci. En función de este dato, desarrolla sus investigaciones sobre la cuadrícula de 24 palmas y derivadas y sus relaciones con los sistemas de medidas antiguos y el sistema métrico decimal. Según sus investigaciones estos sistemas de medidas derivarían todos ellos de un sistema de medidas original cuya unidad central es un canon (modelo humano ideal) basado en un Hombre de 1'80 m. Para más información consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez: Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y Metrología Histórica: Una nueva propuesta.» En efecto, la cuadrícula de 24 palmas se encuentra en la base del canon antropométrico de Vitruvio como escribe el mismo Leonardo en las notas del célebre folio: «Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.» Manuel Franco Taboada también ha estudiado esta cuadrícula de 24 palmas en relación al sistema de medidas de origen griego del canon antropométrico de Vitruvio. Como él mismo escribe: «De todas las interpretaciones gráficas del texto de Vitruvio, en lo que se refiere a esta descripción proporcional, la más literal es la de Rusconi. En ella observamos al hombre inserto en una cuadrícula de 24 celdas, que se corresponden con la menor de las subdivisiones dadas por Vitruvio en relación a la altura total del hombre: el palmo Vemos que 4 dedos hacen un palmo y que 6 palmas hacen un codo, lo que se manifiesta por la posición quebrada del brazo izquierdo, que llama nuestra atención y domina la composición, y que, en consecuencia, 4 codos hacen un hombre (4x6). Por último 24 palmos hacen la altura total, cuestión que queda evidenciada por la cuadrícula. La medida de la cabeza, que desde la barba hasta la coronilla, es la octava parle de todo el cuerpo, se manifiesta magistralmente en el dibujo, por el hecho de modificar la dimensión de la cuadrícula. Para Vitruvio, el rostro, medido desde la barba a lo alto de la frente y la raíz de los cabellos, es una décima parte del total, y dado que éste son 24 cuadrículas, el dibujo muestra que equivale a 2'4. La división del mismo en tres partes iguales, es también patente, 1/3 desde el mentón a la nariz; desde ésta al entrecejo, otro tercio; y otro igualmente desde allí hasta la raíz de los cabellos, donde comienza la frente. Igualmente, la palma de la mano, desde el nudo de la muñeca hasta el extremo del dedo corazón, es 1/10 del total. Cuatro palmos hacen un pie, y el pie es la sexta parte de la altura del cuerpo.» Actas del VII Congreso Internacional de expresión gráfica arquitectónica. Donostia, 14, 15 y 16 de Mayo de 1998. Vol. 2, 1998, Alea. ISBN 8483730391, pp. 345-360.

[11] Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, Rudolf Wittkower e l’angelus novus di Walter Benjamin, extracto de Raccolta Vinciana, Fascículo XXVI, Milán.

[12] Según Luis Castaño, quien pudo contrastar estos datos tomando las medidas sobre el folio original, el lado izquierdo del cuadrado es algo menor, de unos 179,00 mm. El cuadrado dibujado por Leonardo no es perfecto, al igual que el círculo, y presenta ligeras irregularidades, tanto en la perpendicularidad como en las longitudes de los lados. A pesar de ello, el grado de definición del trazado de Leonardo es admirable. Estos errores solo son visibles al ampliar la imagen hasta un grado de precisión que era inconcebible en aquella época. Por otra parte, Leonardo en sus anotaciones se refiere a un cuadrado perfecto, de modo que estas leves variaciones no deben ser tenida en cuenta, se trata de errores en la ejecución del trazado.

[13] Leonardo da Vinci. Le proporzione del corpos umano secondo Vitruvio, Litografia del disegno di Leonardo. Electa, Soprintendenza per i Beni Artistici e Storici di Venezia, Milán, 1999, edition of 1,000.

[14] Se puede observar que las marcas correspondientes a la quinta y a la sexta palma, a izquierda y derecha, presentan una pequeña irregularidad debido probablemente a un error cometido por Leonardo.

[15] Las imágenes que empleamos en este artículo en las que aparece una cuadrícula de 24 palmas y derivadas, para ilustrar algunas de las razones geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y también su relación con la hipótesis del trazado en función de las proporciones del folio, están basadas en los trabajos sobre el canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci de Luis Castaño Sánchez, quien desde el 2011 desarrolla sus investigaciones metrológicas sobre dicha cuadrícula en relación a un canon que estaría basado en un hombre de 1,80 m. Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Para más información sobre esta cuadrícula en relación al canon antropométrico vitruviano según Leonardo da Vinci se puede consultar también el artículo de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.

[16] Estas diferencias minúsculas en torno a las milésimas de metro podrían parecer poco importantes, pero nos impiden obtener resultados exactos cuando tratamos de distinguir entre una operación basada en la sección áurea (1,618…) o una división en función de una proporción de 5/3 (1,667…) que es parte del problema que plantea el análisis geométrico de la representación del hombre del canon de Leonardo que abordaremos en este trabajo.

[17] Según algunos investigadores, el origen de este modelo antropométrico se remontaría al sistema metrológico griego y éste, a su vez, al antiguo sistema de medidas egipcio. Como recoge en sus artículos Luis Castaño, el llamado “Patrón de Maya”, un listón de madera del siglo XIV a.C., mide 525 mm y está dividido en 7 palmas, por lo que cada palma mide 75,00 mm, un patrón que, por otro lado, y como advierte Luis Castaño, se remontaría al modelo de medidas sumerio. Para más información consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez, Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp. 14-16, pp. 18-19, Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 6. Según Frank Zóllner, los orígenes del sistema métrico y, por lo tanto, de la cuadrícula de 24 palmas en la que se basó Leonardo para dibujar el Hombre de Vitruvio se encuentran en la antigua Grecia. Como él mismo escribe: «el sistema metrológico de origen griego es un modelo antropométrico basado en un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) en función de la altura del hombre según patrones de antiguos cálculos fraccionarios, cuyo uso puede remitirnos a la práctica de la arquitectura». Frank Zóllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vincianax’, Fascículo XXVI, p. 335. Para Stephen Skinner los orígenes del sistema de medidas antropométrico vitruviano en base duodecimal recogido por Leonardo se remontarían al antiguo Egipto: «el Hombre de Vitruvio, obra de Leonardo, cuyo propósito original era mostrar cómo la medida del codo de los antiguos egipcios podía aplicarse a las dimensiones del hombre.» Stephen Skinner, Geometría Sagrada de Stephen Skinner, Ediciones Gaia, 2007, Madrid, ISBN 978-84-8445-201 -0, p. 129

[18] Otra de las razones que refuerzan la teoría del marco de trabajo es que, de no aplicarse, la irregularidad de los bordes del folio, sobre todo en cuanto a su longitud, donde la diferencia es más notable, impiden contemplar un área de trazado completa, es decir, quedan espacios vacíos en los márgenes, cosa que no sucede con el área de trazado de 240 x 340 mm, ya que al partir de los valores mínimos del folio toda la superficie queda cubierta.

[19] Los agrimensores y constructores romanos conocían bien esta forma de trabajar con rectángulos y las empleaban en sus proyecciones topográficas para establecer los trazados de ciudades, campamentos, parcelas agrícolas y edificios mediante el uso de cuerdas y estacas y otros instrumentos de medición tales como la groma.

[20] Esta escuadra ha sido estudiada por Carlos Sánchez Montaña en su trabajo sobre la orientación de Lucus Augusti, la actual ciudad de Lugo. En referencia a su uso en la fundación de las ciudades romanas escribe que: «la ciudad sagrada de Augusto cumplía de manera exacta cada uno de los ritos geométricos, que el culto a Jano-Quirino-Arkho establecía. El proyecto redactado por Marco Agripa, y determinado en el códice escrito por él mismo siguiendo la petición de Octavio Augusto, posee una geometría de orden universal, "una cosmografía, a partir de la cual, y siguiendo un complejo sistema de proporciones, se establece, en el orden de lo sensible, una distribución análoga al orden cósmico. Su forma, según el rito de Jano y de geometría igual a su templo, tenía planta cuadrada, formada por una cuadrícula de doce por doce cuadras, dividida en cuatro barrios orientados de acuerdo a los cuatro puntos cardinales, e igual que el templo, que tenía doce columnas, la ciudad tenía doce puertas de entrada. La ciudad se implanta en el territorio de acuerdo a la escuadra pitagórica 5-12-13 y sigue lo estipulado en el proyecto redactado por Marco Agripa, en cuanto a la ordenación de sus calles, espacios públicos y edificios. Cada uno de ellos se rige de acuerdo a la misma escuadra pitagórica en sus proporciones. La ciudad cumple las reglas de los Collegia Fabrorum del siglo I a.C., herederas de la tradición de la Ciencia Sagrada que los Arkhitekton han sabido utilizar a lo largo de los siglos». Carlos Sánchez Montaña, La geografía sagrada de Augusto, http://symbolos.com/carlossanchez/carlossanchez.htm.

[21] Formatos que se encuentran recogidos en las normas ISO 216 e ISO 416.

[22] Los tamaños de papel normalizados ISO son los establecidos por las normas DIN alemanas en 1922, que fueron sucesivamente aceptados por otros países europeos. Las normas DIN, en lo referente a tamaños de papel, determina un formato básico cuyo origen es un rectángulo de 1 m2 de superficie y cuyos lados mayor y menor guardan una relación igual a raíz de 2. De estas dos condiciones se obtiene un rectángulo cuyos los lados miden 1189 x 841 mm. Estas son las medidas del formato básico de la llamada serie A0. Los formatos son todos proporcionales entre sí, es decir la relación entre los lados es siempre la raíz cuadrada de 2.