Capitulo 2. Determinación del cuadrado en función del área de trazado

La representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo es la obra de un consumado anatomista que estaba acostumbrado a emplear la geometría como herramienta para describir la estructura de aquello que observaba. Para el análisis de las proporciones del cuerpo humano en sus dos estados, en movimiento y reposo, se basó en las dos figuras capitales de la geometría: el círculo y el cuadrado. Se ha escrito mucho sobre la singular disposición que establece entre ellas y esto ha provocado cierta dispersión. Ahora bien, si aceptamos todas las teorías, nos encontramos ante varias posibles soluciones, algunas más rigurosas y otras no tanto, sin saber a ciencia cierta cuál de ellas es la que realmente aplicó el artista italiano.

El problema radica en la dificultad para integrar en un modelo las diferentes propuestas, con el fin de hallar los puntos en común. El trazado basado en las proporciones del folio que vamos a plantear puede ayudar a establecer unos valores máximos y mínimos y, por lo tanto, una serie de magnitudes ponderadas que, teniendo en cuenta los márgenes de error, permitan determinar los valores teóricos a partir de los cuales evaluar cada una de las propuestas, de modo que sea posible descartar aquéllas que se desvíen demasiado del rango de valores esperado.

Como ejemplo veamos el interesante análisis realizado por Ernesto Fernández [1]. Leonardo trazó varios segmentos sobre la figura del hombre del canon siguiendo las indicaciones del patrón de proporciones de Vitruvio. Como se puede ver en la Figura 16, las divisiones realizadas a la altura del pecho, el sacro y las rodillas coinciden con las indicadas por las intersecciones de los lados de un polígono de ocho lados que es conocido con el nombre de Estrella de Brunés [2].

 

Fig. 16. Divisiones sobre la figura del hombre del canon (de color amarillo) y correspondencias con las intersecciones de las diagonales que unen los puntos medios de los lados del cuadrado.

 

El canon antropométrico vitruviano se basa en un sistema de particiones duodecimal en función de la altura del hombre ideal según los patrones de cálculos fraccionarios. Se trata de un sistema métrico de doble naturaleza que, por un lado, toma como patrón las diferentes partes del cuerpo humano y, por otro, se rige por un modelo en función de fracciones de números enteros. Inspirándose en estas ideas, Leonardo escribió en el folio el siguiente párrafo.

Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.

Según Frank Zöllner, se trata de un canon antropométrico cuyos orígenes nos remiten a la práctica de la arquitectura en la antigua Grecia y cuya serie fraccionaria es 3, 4, 6, 12, 24, 48, 96. Lo más destacado de este modelo de particiones es la definición de las proporciones de las diferentes partes del cuerpo humano como fracciones de la altura total del hombre del canon, como ha sido preceptivo desde sus orígenes en arquitectura y escultura, pues las dimensiones se definen como partes de una magnitud previamente establecida [3]. Leonardo indicó estas divisiones con unas líneas trazadas sobre la figura del hombre del canon bajo el cuello, en los hombros, los codos y las muñecas; y a la altura del pecho, el pubis y las rodillas.  Las correspondencias con las intersecciones de los lados de la Estrella de Brunés son consecuencia de este sistema de fraccionario de particiones descrito por Vitruvio en su tratado de arquitectura.

Según el canon de Vitruvio, la altura del hombre del canon es de 4 codos [4]. La Estrella de Brunés revela este aspecto, pues las intersecciones de las diagonales que unen los puntos medios de los lados del cuadrado también dividen el cuadrado en 4 partes, por lo que se trata de un método geométrico equivalente a la división del cuadrado con una cuadrícula de 4x4 codos [5] (Figura 17).

 

Fig. 17. Cuadrícula de 4 x 4 codos y divisiones según el canon (de color amarillo). Obsérvense las marcas en la regla correspondientes a las 6 palmas que hacen 1 codo [5].

 

Así pues, hay una cuadrícula de 24 x 24 celdas implícita en el cuadrado que divide la altura del hombre del canon en 4 partes iguales (Figura 18).

 

Fig. 18. División del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon en 24 palmas de 7,5 mm y correspondencias con las divisiones indicadas por Leonardo (de color amarillo) según el sistema metrológico basado en las proporciones del cuerpo humano descrito por Vitruvio [6].

 

Como veremos, estas divisiones son la base del sistema fraccionario a partir del cual se puede obtener una aproximación a la relación de las figuras del círculo y el cuadrado y está en consonancia con los movimientos de regla y compás necesarios para realizar el trazado en función del formato de la cuartilla que proponemos en función de las razones de la raíz cuadrada de 2.

Comencemos por el trazado del cuadrado que será igual a la altura del hombre del canon y, por lo tanto, la razón del modelo antropométrico. Partimos del área de trazado una vez aplicados los márgenes al folio (240,00 x 340,00 mm). Como se muestra en la Figura 19, es tan sencillo como dividir el “cuadrado rector” (ABCD) del rectángulo de partida en dos partes iguales y, a continuación, trazar las diagonales del rectángulo que se forma en la mitad superior (ABEF). El punto de intersección de las diagonales con la vertical media de la cuartilla es el centro del cuadrado buscado, el punto donde se ha de ubicar el sacro del hombre del canon.

 

Fig. 19. Determinación del centro del cuadrado a partir de las semidiagonales del “cuadrado rector” del rectángulo de partida igual a la √2.

 

Leonardo procede mediante la división en 4 partes del “cuadrado rector” de modo que la determinación del centro del cuadrado sea coherente con las proporciones del folio. De ello resulta que éste se sitúa a 180,00 mm del borde inferior, que es, además, la medida de los lados del cuadrado y, por lo tanto, también de la regla que indica la escala y el patrón métrico de la representación.

Obsérvese la precisión del trazado basado en las proporciones de la cuartilla en la determinación de la ubicación del sacro/coxis, que queda perfectamente indicado por la intersección de las diagonales de la mitad superior del “cuadrado rector” (Figura 20).

 

Fig. 20. Aproximación del método de trazado propuesto para hallar el centro del cuadrado correspondiente a la ubicación del sacro/coxis del hombre del canon.

 

El siguiente paso consiste en determinar la longitud de los lados del cuadrado. De hecho, como hemos indicado, es una medida que ya tenemos, pues es la distancia desde el centro del cuadrado que acabamos de obtener (a) al borde inferior del área de trazado. Basta con trazar las diagonales del rectángulo que se forma desde este punto al borde inferior del folio y en su intersección (o) colocar el centro del compás y a continuación, con una abertura hasta el centro del cuadrado (oa), trazar un círculo como se muestra en la Figura 21. El diámetro horizontal de este círculo (2oa’) es el lado inferior del cuadrado buscado.

 

Fig. 21. Determinación del lado inferior del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Su longitud es de 180,00 mm.

 

Sencillamente hemos transformado el “cuadrado rector” en otro cuyos lados miden  ¾ partes o, lo que es lo mismo, hemos aplicado una reducción de un 25% al ancho del área de trazado:

La corrección que supone aplicar al folio los márgenes nos permite obtener un resultado exacto en función de una simple fracción de números enteros al mismo tiempo que nos permite trazar las figuras del círculo y el cuadrado de una forma muy sencilla. El cuadrado está implícito en el diseño de la composición desde el momento en que establecemos el “cuadrado rector” a partir del rectángulo de partida, en este caso, el área de trazado de 240,00 x 340,00 mm.

Ya solo queda hallar el resto de los lados del cuadrado a partir del segmento de 180,00 mm (Figuras 22 y 23).

 

 

Fig. 22 Trazado del cuadrado a partir del lado inferior del mismo. Fig. 23. De color rojo el área de trazado de 240,00 x 340,00 mm y el cuadrado de 180,00 x 180,00 mm obtenido que es coincidente con el dibujado por Leonardo.

 

Así tenemos que, tanto la ubicación del centro del cuadrado respecto a las proporciones del folio como la determinación de sus medidas se resuelven, una vez aplicados los márgenes, sin tener que recurrir a operaciones geométricas complejas. Llegados a este punto, y tomando como referencia el cuadrado dibujado y el “cuadrado rector”, el trazado del círculo también resulta igual de sencillo, porque de hecho también está implícito en el marcaje basado en el formato de la cuartilla.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


 

[1] Ernesto Fernández, Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (reflexiones sobre los principios de la medida). https://docs.google.com/file/d/0B7jlnbAuod2mWDA5QklySEZrUWc/edit.

[2] La estrella de Brunés se construye con las diagonales que unen los puntos medios de los lados de un cuadrado con sus vértices. Se llama así por Tons Brunés, arquitecto danés del siglo xx que la empleó para analizar edificios, monumentos y otras obras de arte de la antigüedad.

[3] «La disposición de los templos depende de la simetría, cuyas normas deben observar escrupulosamente los arquitectos. La simetría tiene su origen en la proporción, que en griego se denomina analogía. La proporción se define como la conveniencia de medidas a partir de un módulo constante y calculado y la correspondencia de los miembros o partes de una obra y de toda la obra en su conjunto. Es imposible que un templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros o partes del cuerpo de un hombre bien formado.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp 82.

[4] y [5] y [6] Las imágenes que empleamos en este artículo en las que aparece una cuadrícula de 24 palmas y derivadas, que empleamos para ilustrar algunas de las razones geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y también su relación con la hipótesis del trazado en función de las proporciones del folio, están basadas en los trabajos sobre el canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci de Luis Castaño Sánchez, quien desde el 2011 desarrolla sus investigaciones metrológicas sobre dicha cuadrícula en relación a un canon que estaría basado en un hombre de 1,80 m. Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Para más información sobre esta cuadrícula en relación al canon antropométrico vitruviano según Leonardo da Vinci se puede consultar también el artículo de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.

[6] «El cuerpo humano lo formó la naturaleza de tal manera que el rostro, desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mida una décima parte de su altura total. La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide exactamente lo mismo; la cabeza, desde la barbilla hasta la coronilla, mide una octava parte de todo el cuerpo; una sexta parte mide desde el esternón hasta las raíces del pelo y desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte. Desde el mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte de la altura del rostro; desde la base de la nariz hasta las cejas, otra tercera parte y desde las cejas hasta las raíces del pelo, la frente mide igualmente otra tercera parte. Si nos referimos al pie, equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo; el codo, una cuarta parte, y el pecho equivale igualmente a una cuarta parte. Los restantes miembros guardan también una proporción de simetría, de la que se sirvieron los antiguos pintores y escultores famosos, alcanzando una extraordinaria consideración y fama. Exactamente de igual manera, las partes de los templos deben guardar una proporción de simetría perfectamente apropiada de cada una de ellas respecto al conjunto total en su completa dimensión.»  Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp 82-83.