Capítulo 5. Relación del perímetro de la circunferencia con la longitud del folio

Otro aspecto significativo, como resultado del trazado basado en las proporciones del folio, es que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon resulta ser dos veces la longitud del folio de partida. Hay una propiedad geométrica de los rectángulos √2 que podría aportarnos algunas pistas sobre los motivos que llevarían a Leonardo a trazar el círculo en el cual se inscribe el hombre del canon a partir de las dimensiones de una cuartilla cuya proporción es igual a las de la raíz cuadrada de 2.

Podría parecer algo obvio, pero es importante. Este tipo de rectángulos tiene la particularidad de que al restar a su longitud (AC = BD) el “cuadrado rector” (CDEF), se obtiene un nuevo rectángulo (ABEF) cuyo perímetro es 2 veces la misma longitud (2 x AC). Si consideramos que el rectángulo del área de trazado (ABCD) tiene una longitud de 340,00 mm, entonces el rectángulo ABEF tiene un perímetro que es 2 veces esa longitud, es decir, 2 x 240,00 mm + 2 x 100,00 mm = 680,00 mm (Figura 37). Como veremos a continuación, es muy probable que Leonardo tuviese en cuenta esta particularidad para el cálculo de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon (Figura 39).

 

Fig. 39. Rectángulo (ABEF) que se forma al restar a la longitud del folio el “cuadrado rector” (CDEF) cuyo perímetro es el doble de la longitud del folio (AC + AB).

 

En efecto, si cortásemos la circunferencia por la mitad y desplegásemos los dos semicírculos resultantes hasta que llegaran a tocar los bordes del folio, tendrían prácticamente la misma longitud (Figura 40) [1]. Que el perímetro de la circunferencia sea, con un alto grado de aproximación, el doble de la longitud del folio no parece que sea algo accidental, sino más bien una consecuencia de trazar las figuras del círculo y el cuadrado teniendo en cuenta las proporciones de la cuartilla basadas en la raíz cuadrada de 2 o, dicho de otro modo, uno de los objetivos que marcaron la estrategia de Leonardo para plasmar su concepción del canon de Vitruvio.

 

Fig. 40. De color amarillo las longitudes del folio y de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon (ad + bc ≈ 2π or  ≈ 343,60 mm). 

 

Tabla 7. Longitud de la semicircunferencia según la imagen digital del folio considerando que la regla mide 180,00 mm y aproximación a la longitud del folio y el área de trazado.

 

En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de la aproximación del perímetro de la circunferencia obtenida con el trazado basado en las proporciones del folio a su longitud total y a la longitud del área de trazado (Tabla 8).

 

Longitud

Valor

Semicírculo

Aproximación

Folio

340,00 mm

343,60 mm

98,95%

Área de trazado

345,00 mm

343,60 mm

99,59%

Tabla 8. Aproximación del perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon a la longitud de los bordes del folio y de los bordes del área de trazado.

 

Es sorprendente la simplicidad y, a la vez, profundidad del trazado en función de las proporciones del folio, que es donde radica la belleza y originalidad de la composición. De hecho, se trata de una cuadratura del círculo sui generis entre el perímetro de la circunferencia y la longitud del folio. Si construimos un cuadrado con los lados mayores del rectángulo del área de trazado de 240,00 x 340,00 mm (ad = ef + eh y bc = fg + gh), las diagonales son entonces iguales a su anchura (eg = ab = dc = 240,00 mm). Lo más significativo es que la circunferencia de igual perímetro a este cuadrado (efgh) se corresponde con la dibujada por Leonardo (2π or).

 

 

Fig. 41. De color rojo circunferencia dibujada por Leonardo y el cuadrado de igual perímetro, igual al doble de la longitud del folio (ad + bc ≈ 2π or  ≈ 687,20 mm).

 

Bien podría estar aquí la solución al problema que ocupó al artista italiano, preocupado por describir las posiciones del hombre del canon, en reposo y movimiento, a partir de las dos figuras capitales de la geometría y el canon de Vitruvio. Si contemplamos esta hipótesis, es decir, que la clave de la composición se encuentra en el cálculo gráfico de la circunferencia en función de un rectángulo igual a la √2, y calculamos cuál debería ser la razón exacta de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado, podremos comparar el cociente que se desprende del modelo teórico con la razón a la que hemos llegado con el trazado propuesto (1,646) y con la proporción de 5/3 (1,667) para ver a cuál de ellas más se aproxima.

Veamos en primer lugar cuál debería ser la razón entre las longitudes del radio del círculo y el lado del cuadrado considerando que el perímetro de la circunferencia sea el doble de la longitud del folio. Como los lados del cuadrado son igual a la altura del hombre del canon, que es la magnitud a partir de la cual se obtienen las divisiones del sistema antropométrico, les asignaremos el valor de una unidad. De este modo, y como resultado de los cálculos, la medida del radio del círculo se corresponderá con la razón de éste con el cuadrado. Así tenemos que si los lados del cuadrado tienen una longitud de 1 unidad, la anchura del folio es de 4/3, como sabemos por el trazado basado en el formato del folio, y puesto que se trata de un rectángulo igual a √2, la longitud de la cuartilla es:

Como el perímetro de la circunferencia tiene que ser dos veces la longitud del folio, tenemos que debe medir:

Solo queda dividir entre 2π para hallar la longitud del radio de este círculo, cuyo valor es también el cociente que se desprende de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado:

La inversa de esta razón es el cociente teórico de la relación entre las longitudes de las figuras del cuadrado y el círculo:

Un cociente que es prácticamente una proporción de 5/3. De este modo, llegamos a la formulación del modelo de trazado teórico sobre el cálculo gráfico de la circunferencia basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 que se puede expresar mediante la siguiente ecuación [2]:

Ahora bien, aunque la correspondencia entre la longitud del folio y el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon sea exacta para esta razón, el radio del círculo correspondiente mide 108,00 mm, algo por debajo de la medida que se puede observar en la imagen digital del folio, más cercana a la del trazado propuesto mediante el cual llegamos, si recordamos, a una proporción de:

Para esta razón, la longitud del radio del círculo es de 109,37 mm, ajustándose con algo más de exactitud a la imagen digital del folio. No deja de ser una buena aproximación al modelo teórico, pues supone tan solo un exceso de 1,37 mm, por debajo de la precisión de la regla que empleó Leonardo y que ya es el grosor del ombligo dibujado. [3].

A la vista de estos resultados no podemos afirmar con certeza cuál de las dos soluciones es la correcta, pues apenas difieren en un milímetro respecto a la posición del centro del círculo. De todas formas, lo cierto es que las figuras del círculo y el cuadrado adquieren una nueva dimensión cuando se analizan en función de las proporciones de la cuartilla. Sirva este trabajo como una primera aproximación al problema geométrico que plantea la composición del canon vitruviano de Leonardo si consideramos el formato del folio. Puede que estemos equivocados en pensar que uno de los objetivos de Leonardo era el cálculo de la circunferencia a partir de un rectángulo raíz cuadrada de 2; pero de lo que no cabe duda es que el trazado propuesto, con independencia de las dimensiones del folio, permite dibujar las figuras del círculo y el cuadrado de forma sencilla y precisa, revelando aspectos hasta ahora desconocidos de la composición como la ubicación de las figuras en el folio, el papel que juegan las proporciones de la cuartilla y las razones de 3/4 y 5/3 y la relación con el sistema métrico indicado en la regla.

Llegados a este punto, resulta inevitable preguntarse cuál fue el auténtico propósito de Leonardo. El cúmulo de resultados puede hacernos pensar que el trazado está basado en más principios matemáticos de los que en realidad requiere. Cualquier punto parece estar en relación numérica con el resto, y allí donde medimos encontramos relaciones notables. Una vez ajustadas las medidas y analizados todos los resultados, volvamos a contemplar la obra en su conjunto, tratando de acercarnos a la visión del artista con la perspectiva que nos proporciona el trazado basado en las proporciones del folio.

Lo primero que percibimos es el equilibrio subyacente entre las medidas del folio y las proporciones de la composición. Aunque Leonardo se inspiró en el canon de Vitruvio, el análisis de la composición pone de manifiesto que quiso ir más allá de la estricta cuestión antropométrica, dejando constancia que las proporciones del hombre del canon forman parte de un conjunto de relaciones aún más extenso. Quiso expresar la idea de que el hombre y el universo son dos aspectos de una misma y poliédrica realidad, dos dimensiones interrelacionadas de forma que las leyes a partir de las cuales se establecen las proporciones ideales del cuerpo humano sean también las mismas que gobiernan el cosmos, un universo que, en este caso, lo conforma el formato de la cuartilla de partida.

Leonardo concibió su representación del canon vitruviano mediante una construcción geométrica que vincula continente y contenido. No hay más que preguntarse por el aspecto que tendría la composición si el círculo estuviese situado en cualquier otra posición. Mientras su diámetro no variase, el perímetro seguiría siendo equivalente a la longitud de la cuartilla; sin embargo, la estructura no sería coherente con sus proporciones. El círculo está situado allí donde debe estar para que no se vea afectada la armonía del conjunto. El ombligo se encuentra, respecto a los lados superior e inferior de la cuartilla, en relación a la raíz cuadrada de 2, y esto es lo que garantiza el equilibrio entre las figuras y entre éstas y la cuartilla.

El hombre ante el universo, microcosmos frente a macrocosmos. Sin duda una de las herramientas más adecuadas para representar ésta confrontación dialéctica de la realidad es la geometría, de ahí la importancia de las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon y del problema que plantea la transición de las líneas rectas a las curvas infinitas. Conseguir que un segmento recto y una línea curva formen parte de un mismo paradigma requiere resolver el cálculo gráfico de la circunferencia y enfrentarse a uno de los grandes problemas de la geometría clásica de regla y compás: el cálculo del número π y, por extensión, al de la cuadratura del círculo. Hoy sabemos que el número π es trascendente y, por tanto, no tiene representación geométrica. A pesar de ello, el genio italiano parece que halló una forma de calcular la circunferencia partiendo de un método basado en la raíz cuadrada de 2 que, aunque es un número irracional, no es trascendente, por lo que puede ser dibujado con regla y compás (ver anexo III).

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell 

 


 

[1] El trazado basado en las proporciones del folio es sensible a la propagación de errores. Así por ejemplo, partiendo del área de trazado de 340,00 x 240,00 mm, un error de tan solo 1 mm en la determinación del centro del círculo dará como resultado un radio 1 mm más pequeño o más grande, que al multiplicarlo por 2 y por el número π para obtener el perímetro de la circunferencia, a pesar de ser porcentualmente el mismo grado de error, hará que éste aumente hasta los 6,20 mm.

[2] Si consideramos que partimos del ancho del área de trazado (240,00 mm), la longitud del cuadrado viene dada por una razón de ¾, por lo que éste mide 180,00 mm. Si a partir de esta longitud calculamos el centro del círculo en función de una razón de 5/3, tenemos que el radio mide 108,00 mm, tan solo 0,04 mm por debajo del valor teórico ideal; una precisión del 99,95%, de donde se desprende un valor para el número  de 3,1426. Si dividimos el perímetro del círculo entre 2√2, para obtener de nuevo la longitud del ancho del área de trazado, llegamos a una medida de 239,92 mm. La precisión de este método es, por lo tanto, de 239,92 mm / 240,00 mm = 0,99965, es decir, tiene una precisión del 99,97%.

[3] Un segmento de 180,00 mm dividido en 96 partes, es decir, una unidad métrica mínima de 1,875 mm.