Capítulo 6. El factor de cuadratura del círculo y el gnomon para la latitud de la ciudad de Roma

El hecho que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon sea el doble de la longitud del folio nos remite al problema de la conversión de un arco (el perímetro del círculo) en un segmento recto (los bordes del folio) y, por lo tanto, al problema de la cuadratura del círculo. Hay otro detalle curioso en la composición de Leonardo en este sentido, aunque se trata tan solo de una especulación. En su posición con los brazos y las piernas extendidos, el hombre del canon se inscribe en un círculo cuyo centro se sitúa en el ombligo. No es la posición descrita por Vitruvio en su tratado, que es la de un hombre tumbado con los brazos estirados adoptando la forma de una “I”. Sin embargo, Leonardo decidió que la posición fuese en pie y con los brazos extendidos a la altura de la cabeza adoptando la forma de una “X”. En esta posición, los dedos medios tocan el punto donde el cuadrado y el círculo se cortan. Por el contrario, en su posición con las piernas juntas y los brazos en cruz, los dedos solo pueden tocar el cuadrado. Pero, ¿qué sucede si aplicamos la misma lógica de la posición en forma de “X”? En la siguiente imagen hemos trazado, manteniendo como centro el ombligo, el círculo que corta el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon en el punto que señalan los dedos en esta posición que, no olvidemos, es el mismo que indica el lado superior del “cuadrado rector” del folio de partida (Figura 42).

 

Fig. 42. Detalle de lo brazos en cruz (en forma de “T”) y de los brazos extendidos a la altura de la cabeza (en forma de “X”) señalando los puntos donde el cuadrado corta los dos círculos con centro en el ombligo.

 

Al trazar el círculo nos encontramos ante un resultado tan inesperado como exacto, pues su perímetro es igual al del cuadrado inscrito en el círculo dibujado por Leonardo, es decir, una cuadratura del círculo de las longitudes de las dos figuras con un grado de aproximación de un 98,73% (Figura 43) [1].

 

Fig. 43. De color rojo el círculo con centro en el ombligo, cuyo radio está indicado por la posición de los brazos en forma de “T”, y el cuadrado de igual perímetro que resulta, a su vez, estar inscrito en el círculo correspondiente al hombre del canon en su posición en forma de “X”.

 

Es cierto que hay que dibujar un círculo y un cuadrado imaginarios, pero a partir de las figuras dibujadas por Leonardo. Por otra parte, y dada la exactitud del resultado, es lógico que se nos plantee una duda razonable. Pero, ¿por qué razón introduciría Leonardo el problema de la cuadratura del círculo en su representación del canon antropométrico? Por un lado, ha sido uno de los problemas que más quebraderos de cabeza ha costado a los mejores matemáticos y geómetras de todas las épocas, y el genio italiano no iba a ser menos. Según Augusto Marinoni, «uno de los problemas de geometría que absorbió a Leonardo fue el de la cuadratura del círculo. A partir de 1504 dedicó muchas páginas de sus cuadernos a esta cuestión, que también fascinó a su mentor Luca Pacioli» [2]. Mientras que estas investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemáticas Leonardo creó una multiplicidad de complejos y preciosos diseños" Aprovechando que para establecer las proporciones del hombre del canon en sus dos posiciones partía de las figuras del círculo y el cuadrado es posible que considerase incluir esta información, pues tal y como está planteada la cuadratura del círculo en la representación se puede inferir la latitud geográfica de la ciudad de Roma, como aparece recogida en el tratado de Vitruvio como ejemplo para la construcción de los cuadrantes solares.

En la época del emperador Augusto, entre el 27 y el 23 a.C., cuando Vitruvio dedicó a Octavio César su famoso tratado de arquitectura, a la varilla de los relojes solares se le llamaba gnomon. Fijada verticalmente y midiendo la sombra que arroja en relación a su longitud es posible realizar observaciones relativas a la latitud geográfica del lugar . La observación de la sombra equinoccial jugaba un papel esencial en la construcción de los cuadrantes solares y el correspondiente cálculo asociado a la latitud, conocido como la “altura del lugar al Polo”. Del rigor de este cálculo dependía el grado de exactitud de los relojes solares. Hoy en día gracias a la moderna cartografía es una tarea relativamente fácil, pero hasta el siglo XVIII estos conocimientos no estaban al alcance de cualquiera.

Cuando los rayos solares del equinoccio inciden al mediodía sobre un gnomon vertical producen una sombra con un ángulo que es igual a la latitud geográfica del lugar, y de ahí que Vitruvio recomiende «tomar siempre la sombra equinoccial del lugar en que se hubieren de construir los relojes». Procediendo de esta forma, el cálculo basado en el gnomon aunque no es del todo exacto supone una buena aproximación. Vitruvio recoge algunos ejemplos del cálculo de este cociente y escribe que:

en Atenas cuatro partes de gnomon dan tres de sombra. En Rodas siete partes dan cinco. En Taranto once dan nueve. En Alejandría cinco dan tres. Y en todos los demás parajes hallamos diferentes por la naturaleza de las sombras equinocciales de los gnomones: y así siempre se deberá tomar la sombra equinoccial del lugar en que se hubieren de construir los relojes. [3]

En la Figura 44 se muestran los valores angulares de las relaciones entre la longitud del gnomon y la sombra equinoccial junto a los valores actuales de las latitudes geográficas correspondientes.

Fig. 44. Ejemplos de latitudes geográficas recogidas en el tratado de Vitruvio.

 

Para la latitud de Roma el factor gnomónico es de 8/9 = 0,889, como se muestra en la reconstrucción del gnomon equinoccial tal y como lo describe Vitruvio en el Capítulo VII del Libro IX [4]. Hemos destacado el triángulo que forman en los equinoccios el gnomon, su sombra al mediodía y el ángulo de incidencia de los rayos solares en ese momento (ABC).

 

 

Fig. 45. Gnomon equinoccial para la latitud de Roma. De color azul triángulo formado en los equinoccios por las longitudes del gnomon y la sombra que arroja al mediodía (ABC).

 

Este mismo triángulo rectángulo es el que se forma como se puede ver en la siguiente imagen (abc) en función de la relación de los radios de los círculos correspondientes a las dos posiciones de los brazos del hombre del canon (Figura 46).

 

Fig. 46. Cuadratura del círculo y gnomon equinoccial correspondiente a la latitud geográfica de la ciudad de Roma.

 

En efecto, como se puede ver en la imagen anterior, los brazos del hombre del canon en sus dos posiciones, en reposo y movimiento, están señalando el factor gnomónico correspondiente a la latitud de la ciudad de Roma. Podría parecer aventurado afirmar que Leonardo también incluyó información de carácter geodésico en su representación del Hombre de Vitruvio, pero lo cierto es que, sea o no una casualidad, es un resultado que merece mayor atención.

 

© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell

 


 

[1] La cuadratura del círculo es un problema matemático, sin solución geométrica, consistente en hallar, con sólo regla y compás, un cuadrado con un área o un perímetro iguales a los de un círculo dado. Desde la antigüedad clásica hasta el siglo xix muchos fueron los que buscaron sin éxito la solución. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que el número p es un número trascendente, que no tiene representación geométrica, lo que implica que es imposible cuadrar un círculo usando la regla y el compás. Sin embargo, otros piensan que la cuadratura del círculo ha de ser planteado como un problema geométrico y no solo como un problema matemático.

[2] Augusto Marioni, http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html.

[3] «Ciertamente es un fenómeno regulado por la mente divina, que proporciona una profunda admiración a quienes consideran por qué la sombra del gnomon, en el equinoccio, es de una determinada longitud en Atenas, de otra diferente en Alejandría y también distinta en Roma; en Placencia su longitud es diversa, como lo es en otras partes del mundo. Esta es la causa de que sean muy diferentes los trazos y las sombras que proyectan los relojes, cuando nos referimos a un lugar o a otro: la longitud de las sombras en el equinoccio determina de un modo concreto la disposición de los analemas1, que actúan de referencia para fijar los husos horarios, de acuerdo con las sombras del gnomon y la ubicación geográfica de cada lugar. Se define el analema como un exacto diagrama que resulta de observar el curso del Sol y de constatar la sombra que va creciendo hasta alcanzar el solsticio de invierno; por medios arquitectónicos y gracias a los trazos del compás se posibilita descubrir los efectos del sol en el universo.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. IX, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, p. 224.

[4] Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. IX, cap. VI, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, p. 238.